UNIDAD 1

Cinemática  

 La Mecánica se ocupa de las relaciones entre los movimientos de los sistemas materiales y las causas que los producen. Se divide en tres partes: Cinemática que describe el movimiento, Dinámica que estudia el movimiento y sus causas y Estática que estudia las fuerzas y el equilibrio de los cuerpos.

Principios de la cinemática

Por lo tanto, los elementos esenciales que la cinemática analiza son el móvil, el espacio y el tiempo. A partir de ellos, la cinemática considera el estudio de las magnitudes, las cuales corresponden a: posición, velocidad y aceleración.

• La posición: se refiere al lugar en el que se encuentra ubicado el móvil, el cual es representado con un vector de posición.
• La velocidad: se determina al evaluar la distancia recorrida en el tiempo.
• La aceleración: corresponde a la variación de dicha velocidad durante su desplazamiento en el tiempo.

Tipos de movimiento

La cinemática ha permitido la clasificación y análisis de diferentes tipos de movimientos. Entre ellos podemos mencionar:

• Movimiento rectilíneo uniforme.
• Movimiento rectilíneo acelerado.
• Movimiento rectilíneo uniformemente variado.
• Movimiento circular uniforme.
• Movimiento circular acelerado.
• Movimiento curvilíneo.

Movimiento rectilíneo

1.-Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.

• Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo
• Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s.
• Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.

Aceleraciones: pendientes de las rectas (véase la gráfica)

Desplazamiento entre los instantes t=0 y t=8 s: área bajo la curva v-t.

Δx=5+20+17+24+36=102 m  

Movimiento circular

1.-12. Una rueda de radio 10 cm está girando con una velocidad angular de 120 r.p.m., se aplican los frenos y se detiene en 4 s. Calcular:

• La aceleración angular (supuesta constante la fuerza de frenado).
• El ángulo girado a los 4 s.

Calcular 1 s. después de aplicar los frenos:

• La velocidad angular, la velocidad (lineal) de un punto de la periferia de la rueda.
• Las componentes tangencial y normal de la aceleración.

ω₀=120 rpm=4π rad/s

$\begin{array}{c}\omega ={\omega }_0+\alpha t\\ \theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\end{array}$

ω=0 en el instante t=4 s, α=-π rad/s², θ=8π rad

En el instante t=1 s:

ω=3π rad/s , θ=7π/2 rad

Velocidad lineal, v= ω·r=0.3π m/s

Componentes de la aceleración: tangencial, a_t=α·r=-0.1π m/s², normal a_n=ω²·r=0.9π² m/s²

Movimiento relativo de traslación uniforme

1.-Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km/h. Un bote se dirige al Este con velocidad relativa al agua de 4 km/h.

• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.
• Si el río tiene 1 km de anchura, calcular el tiempo necesario para cruzarlo.
• ¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a la otra orilla del río?

Velocidad del bote respecto a tierra

$v=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{km/h}\theta \text{=arctan}\frac{\text{4}}{\text{3}}=53.1º$

Tiempo para cruzar el río t=1/4 hora

Desviación, x=3·1/4=3/4 km=750 m, o bien x=1·tanθ =3/4 km

Movimiento curvilíneo

1.-Un barco se mueve hacia el norte con velocidad constante de 30 km/h, otro barco que dista 10 km, se mueve en la dirección N 60° O con velocidad constante de 20 km/h. Calcular la distancia de máximo acercamiento entre 

$\begin{array}{c}\overrightarrow{r_1}=30t\cdot \hat{j}\\ \overrightarrow{r_2}=(10-20\cos 30t)\cdot \hat{i}+20\sin 30t\cdot \hat{j}\\ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}=10(1-\sqrt{3}t)\cdot \hat{i}+(-20)t\cdot \hat{j}\end{array}$

Calculamos la distancia r entre los dos barcos, se derivada de r con respecto al tiempo t y se iguala a cero.

$\begin{array}{c}r=10\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}t\right)}^2+4t^2}\\ \frac{dr}{dt}=0t=\frac{\sqrt{3}}{7}\text{h}\end{array}$

Tramo AB

x=5+10(t-1)=10t-5 m

Tramo BC

$x=25+10(t-3)+\frac{1}{2}{14\left(t-3\right)}^{}$