UNIDAD 2

 Dinámica

 Dinámica es la parte de la mecánica que estudia la relación entre el movimiento y las causas que lo producen (las fuerzas). El movimiento de un cuerpo es el resultado de las interacciones con otros cuerpos que se describen mediante fuerzas. La masa de un cuerpo es una medida de su resistencia a cambiar de velocidad. 

LEYES DE NEWTON 

1ª Ley de Newton (ley de inercia): Un cuerpo no sometido a la acción de fuerzas, está en reposo o tiene movimiento rectilíneo uniforme. 

2ª Ley de Newton: La fuerza neta sobre un cuerpo es la causa de su aceleración. F = m a 

3ª Ley de Newton (ley de acción y reacción): Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario. FAB = - FBA

INERCIA

Es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento uniforme, si sobre ellos no influyen otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos se compensa.

 La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad: 

TRABAJO Y ENERGÍA

El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía cinética.

FUERZA Y POTENCIAL

Es la mecánica de partículas o medios continuos tiene formulaciones ligeramente diferentes en mecánica clásica, mecánica relativista y mecánica cuántica.

LEYES DE NEWTON

Sin lugar a dudas, Newton fue uno de los matemáticos más sobresalientes en la historia de la humanidad. Su principal legado son las llamadas "Leyes de Newton", las cuales dan una explicación muy distinta a lo que normalmente conocemos como sólo movimiento. Estas leyes fueron los primeros modelos fisicos propuestos por el hombre para explicar el movimiento.

La segunda Ley de Newton establece la relación entre la fuerza y el movimiento, en ella se establece que "si sobre un cuerpo de masa M se aplica una fuerza F, este cuerpo adquiere una aceleración a que es directamente proporcional a la fuerza aplicada". Esta Ley se sintetiza en la siguiente fórmula:

F = ma

Movimiento curvilíneo

Para describir un movimiento que tiene lugar en el plano XY, situamos un origen y unos ejes.

En la figura se señala el vector posición r del móvil en el instante t y el vector velocidad v, cuya dirección es tangente a la trayectoria.

Vector posición	x(t)	y(t)
Vector velocidad	v x = dx dt	v y = dy dt
Vector aceleración	a x = d v x dt	a y = d v y dt

Podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Para calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante:.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: a_t=a cosθ  y  a_n=a sinθ

Tiro parabólico

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ v 0 y = v 0 sin ⁡ θ 

Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X
• uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

{ a x = 0 a y = − g     { v x = v 0 ⋅ cos ⁡ θ v y = v 0 ⋅ sin θ − g ⋅ t     { x = v 0 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ t y = y 0 + v ⋅ 0 sin θ ⋅ t − 1 2 g ⋅ t 2  .

- DINAMICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILINEOS

Cuando una partícula describe en su movimiento una trayectoria curva se dice que tiene un movimiento curvilíneo.

En general, una curva tiene distintos radios de curvatura. Cuando el radio de curvatura es constante durante todo el movimiento, la trayectoria es una circunferencia y se denomina movimiento circular. Este movimiento es un caso particular del movimiento curvilíneo.

En un movimiento circular, la velocidad angular "w" es el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Para calcular la velocidad angular sólo hay que dividir el ángulo recorrido ( Φ en radianes) entre el tiempo transcurrido (t), según la expresión: 

  Puesto que                     

             al sustituir en la ecuación anterior queda         

 

               Como:           

              entonces                          

                o lo que es lo mismo:     

Dinámica del movimiento circular uniforme

-Una partícula de masa m está unida a un muelle de constante k y longitud r₀ sin deformar. Se coloca sobre una plataforma en rotación, que gira con velocidad angular constante ω, con un extremo del muelle unido al eje.

• ¿Cuál es la longitud r+r₀ del muelle deformado?

Aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme

$\begin{array}{c}m{\omega }^2\left(r_0+r\right)=kr\\ r=\frac{m{\omega }^2}{k-m{\omega }^2}{r}_0\\ r+r_0=\frac{k}{k-m{\omega }^2}{r}_0\end{array}$

-Calcular la velocidad mínima que tiene que tener el motorista (considerado como una masa puntual) que trabaja en 'el tubo de la muerte' (aparato de atracción de feria representada en la figura) para que no se caiga. Diámetro del tubo: 10 m. Coeficiente estático de rozamiento entre las ruedas de la motocicleta y la pared: 0.5.

Equilibrio en la dirección vertical, mg=F_r

Dinámica del movimiento circular uniforme, N=mv²/r

Máximo valor de la fuerza de rozamiento F_r=μ_s·N

Velocidad mínima del motorista

$v=\sqrt{\frac{rg}{{\mu }_s}}=\sqrt{98}\text{m/s}$

-Un pequeño bloque de 1 kg de masa está atado a una cuerda de 0.6 m, y gira a 60 r.p.m. describiendo una circunferencia vertical. Calcular la tensión de la cuerda cuando el bloque se encuentra:

• En el punto más alto de su trayectoria.
• En el más bajo de su trayectoria.

ω=60 rpm=60·2π/60=2π rad/s

• En el punto más alto de su trayectoria.

T+mg=ma_n
T =mω²R-mg

• En el más bajo de su trayectoria.

T’-mg= ma_n
T’ = mω²R+mg

Con los datos del problema

T=13.9 N, T’=33.5 N