UNIDAD 3

   TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

     

Trabajo Se refiere a una actividad que emplea una fuerza y el movimiento en la dirección de la fuerza. Una fuerza de 20 Newtons empujando un objeto a lo largo de 5 metros en la dirección de la fuerza realiza un trabajo de 100 julios.

Energía Es la capacidad para producir trabajo. - Ud. debe tener energía para realizar un trabajo - es como la moneda para realizar trabajo. Para producir 100 julios de trabajo, Ud. debe gastar 100 julios de energía

Potencia Es la velocidad en la realización del trabajo o en el uso de la energía, que numéricamente son lo mismo. Si Ud produce 100 julios de trabajo en un segundo (usando 100 julios de energía), la potencia es de 100 vatios.

Sobre un cuerpo actúa una fuerza F→=43.3i→+25j→  N produciendo un desplazamiento de Δr→=25i→ m. Determina el trabajo realizado por la fuerza.

¿Qué ocurriría si el desplazamiento fuese Δr→=25i→+25j→ ?

Solución

Para determinar el trabajo en  cada uno de los casos realizamos el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento: Se trata simplemente de aplicar la definición de trabajo realizado por una fuerza constante que produce un desplazamiento rectilíneo.

W=F→⋅Δr→=(43.3i→+25j→)⋅(25i→)=1082.53J

 

Detengámonos por un momento en este punto antes de continuar. Si te fijas bien, el resultado es el mismo que en el caso del ejercicio "Trabajo Realizado por Fuerza a Partir del Ángulo y del Desplazamiento" en su tercer apartado. Efectivamente, el vector fuerza, que aquí nos dan según sus componentes, es el mismo que el del ejercicio señalado, sólo que en aquel caso nos daban su módulo y el ángulo que formaba con la horizontal. Como puedes observar en la figura, se puede pasar de una representación a otra sin problema pero el resultado final debe ser el mismo.

En relación a la segunda pregunta, recalculamos el trabajo con el nuevo vector desplazamiento:

W=F→⋅Δr→=(43.3i→+25j→)⋅(25i→+25j→)=1707.5J

TRABAJO, ENERGÍA Y CINÉTICA

En las figuras se muestran las fuerzas sobre el cuerpo en la posición B (más alta) y en la posición A (más baja)

Descomponemos el peso y aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme

$T_B+4\cdot 9.8\cdot \sin 30=4\frac{v_B^2}{2}{T}_A-4\cdot 9.8\cdot \sin 30=4\frac{v_A^2}{2}$

La velocidad mínima en B se obtiene cuando T_B=0 , v_B=3.13 m/s

Principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2}4v_A^2=\frac{1}{2}4v_B^2+4\cdot 9.8\cdot 2v_A=7.0\text{m/s}{T}_A=117.6\text{N}$

 energía cinética

Supongamos que $\overrightarrow{F}$ es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

$\begin{array}{c}W=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}{F}_{t}ds=\underset{A}{\overset{B}{\int }}m{a}_{t}ds=\\ \underset{A}{\overset{B}{\int }}m\frac{dv}{dt}ds=\underset{A}{\overset{B}{\int }}m\frac{ds}{dt}dv=\underset{A}{\overset{B}{\int }}mvdv=\frac{1}{2}m{v}_B^2-\frac{1}{2}m{v}_A^2\end{array}$

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica su energía cinética.

En la segunda línea, la aceleración tangencial a_t es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

La energía cinética es la expresión

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

$-126=\frac{1}{2}0.015v^2-\frac{1}{2}0.015\cdot {450}^{2}v=431\text{m/s}$

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

-Imagina una piedra en reposo situada sobre tu mesa, a cierta altura sobre el suelo. Cuando la piedra cae, podría empujar a otro cuerpo, provocando una transformación en él. Por ejemplo, si cae sobre una canica, podría empujarla y hacer que comenzara a moverse. No te recomendamos que hagas la prueba dejando caer la piedra sobre tu pie, pero parece claro que se produciría algún tipo de transformación... En cualquier caso, lo importante es señalar que cuando la piedra cae, es la fuerza peso la que hace que la piedra se desplace y por tanto realiza un trabajo. Este trabajo es posible debido a la posición que ocupa la piedra en el campo de fuerzas (campo gravitatorio) que genera la Tierra. Dicho de otro modo, la piedra cuenta con una energía (capacidad para producir un trabajo, una transformación) por el hecho de encontrarse a cierta altura sobre el suelo.

Definimos la energía potencial gravitatoria como la energía que posee un cuerpo por el hecho de encontrarse bajo la acción de la gravedad. Su valor, para el caso de alturas pequeñas sobre la superficie terrestre, viene dado por:

Ep=m⋅g⋅h

Donde:

• Ep: Es la energía potencial del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio (J)
• m: Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Kilogramo (kg)
• g: Valor de la aceleración que provoca la gravedad. Su unidad de medida en el SIstema Internacional es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)
• h: Altura a la que se encuentra el cuerpo . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

La fórmula anterior es un caso particular que sólo es válida cuando nos encontramos a poca altura sobre la superficie de la Tierra, ya que, en otro caso, el valor de g varía. En niveles posteriores veremos la expresión general para la energía potencial gravitatoria.

-Supongamos que el bloque tiene una masa de 3kg y deseamos encontrar la energía potencial respecto a la mesa. Entonces podríamos decir que la altura que necesitamos conocer para este cálculo tiene que partir de la diferencia entre la altura total de 2.3m respecto al suelo, y de 1.2m también respecto al suelo pero de la mesa. Entonces:

Ahora si podemos realizar nuestro cálculo de energía potencial para el bloque respecto a la mesa. Aplicamos la fórmula:

Lo que significa que la energía potencial es de 32.34 Joules.

    ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

 es energía almacenada que resulta de aplicar una fuerza para deformar un objeto elástico. La energía queda almacenada hasta que se quita la fuerza y el objeto elástico regresa a su forma original, haciendo un trabajo en el proceso. La deformación puede implicar comprimir, estirar o retorcer el objeto. Muchos objetos están diseñados específicamente para almacenar energía potencial elástica, por ejemplo:

• El muelle de un reloj de cuerda.
• Un arquero que estira su arco.
• Un trampolín doblado justo antes de que el clavadista brinque.
• La liga de hule de una resortera.
• Una pelota de goma, comprimida en el momento en el que choca con una pared de ladrillos.
• 
  
• En nuestro artículo sobre elasticidad y ley de Hooke discutimos cómo la magnitud de la fuerza, $F$F, debida a un resorte ideal depende linealmente de la longitud, $\Delta x$delta, x, que se ha comprimido o expandido,

  $F = k\cdot \Delta x$F, equals, k, dot, delta, x

  donde $k$k es algún número positivo, que llamamos "constante del resorte". La fuerza del resorte es conservativa, y las fuerzas conservativas tienen energías potenciales asociadas a ellas. 

  [¿Qué pasa con la dirección de la fuerza?]

  De la definición del trabajo sabemos que el área bajo una gráfica de fuerza vs. desplazamiento da el trabajo realizado por esa fuerza. La figura 1 muestra la gráfica de fuerza vs. desplazamiento de un resorte. Ya que el área bajo la curva es un triángulo, y ningún tipo de energía se pierde en un resorte ideal, podemos encontrar la energía potencial elástica $U$U a partir del trabajo realizado:

  $\begin{aligned}U &= \frac{1}{2} (\Delta x) \cdot k (\Delta x) \\ &= \boxed{\frac{1}{2} k (\Delta x)^2} \end{aligned}$​

  

  Figura 1: el trabajo realizado por una fuerza sobre un resorte ideal.

  Figura 1: el trabajo realizado por una fuerza sobre un resorte ideal.
  Ejercicio 1: la suspensión de un camión tiene una constante de resorte de $5\cdot 10^4~\mathrm{N/m}$5, dot, 10, start superscript, 4, end superscript, space, N, slash, m. Cuando no tiene carga, el camión se encuentra 0.8 m encima de la carretera. Cargado con mercancías, baja a 0.7 m por encima del suelo. ¿Cuánta energía potencial almacenan los cuatro resortes?

  La diferencia en la altura del camión es de 0.1 m (0.8 m, 0.7 m). Esto nos indica la compresión $\Delta x$delta, x de los resortes. Al sustituir en la ecuación para la energía potencial de un resorte tenemos que:

  $\begin{aligned} U &= \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^4~\mathrm{N/m} \cdot (0.1~\mathrm{m})^2 \\ &= 250~\mathrm{J}/\mathrm{resorte} \\ &= 1000~\mathrm{J} \end{aligned}$